狄利克雷函数有极限吗,狄利克雷函数这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、如下:狄利克雷函数是周期函数证明:取T为任意一个确定的有理数,则当x是有理数时f(x)=1,且x+T是有理数,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);当x是无理数时,f(x)=0,且x+T是无理数,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。
2、综上,狄利克雷函数是周期函数。
【资料图】
3、狄利克雷函数基本性质:定义域为整个实数域R。
4、2、值域为{0,1}。
5、3、函数为偶函数。
6、4、无法画出函数图像,但是它的函数图像客观存在。
7、5、以任意正有理数为其周期,无最小正周期(由实数的连续统理论可知其无最小正周期)。
8、狄利克雷函数是周期函数证明:取T为任意一个确定的有理数,则当x是有理数时f(x)=1,且x+T是有理数,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);当x是无理数时,f(x)=0,且x+T是无理数,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。
9、综上,狄利克雷函数是周期函数。
10、周期函数的定义是:若存在T>0使得f(x+T)=f(x), 则f(x)为周期函数,不要求有最小周期。
11、按照定义验证对任意有理数T>0, 如果x是有理数则x+T也是有理数,所以f(x+T)=1=f(x).如果x是无理数,则x+T也是有理数,所以f(x+T)=0=f(x).所以狄利可雷函数以任意正有理数为周期,但没有最小周期。
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